PL EN


Journal
2013 | 21 | 4(84) | 91-115
Article title

Euklides i Arystoteles o ciągłości. Część I. Euklides

Title variants
EN
Euclid and Aristotle about Continuity. Part I. Euclid
Languages of publication
PL
Abstracts
EN
Line segment is a kind of ancient Greek μέγεθος. It is described mathematically in Euclid’s Elements and in a philosophical way in Aristotle’s Physics. In this first part of our paper we present Euclid’s twofold attitude toward a line segment: the first one developed in his theory of proportion of magnitudes (book V), the second in his plain geometry (books I-IV). Euclid’s magnitudes are of several different kinds: lines segments, triangles, convex polygons, arcs, angles. Magnitudes of the same kind can be added to one another and compared as greater–lesser. We provide a set of axioms for the line segments system (M, +, <) and show that the total order of segments < is compatible with the addition operation +. The positive part of an Archimedean field is a model of these axioms. Next, we present an interpretation of Euclid’s proposition I.10 and show that Aristotle’s famous saying „everything continuous is divisible into divisibles that are infinitely divisible” applies to a single line segment. Our study is based on Heiberg’s Euclidis Elementa.
Journal
Year
Volume
21
Issue
Pages
91-115
Physical description
Contributors
  • Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN, Instytut Matematyki, ul. Podchorążych 2, 30-084 Kraków, pb@up.krakow.pl
  • Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN, Instytut Filozofii i Socjologii, ul. Podchorążych 2, 30-084 Kraków
References
  • Artin E., Schreier O. (1926), Algebraische Konstruktion reeller Körper, „Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität” 5, 85-99.
  • Arystoteles (1831), Physica [w:] Aristotelis Opera, I. Bekker (ed.), Berlin: Georg Reimer.
  • Bair J. et al. (2013), Is Mathematical History Written by the Victors? „Notices of the American Mathematical Society” 60(7), 886-904.
  • Beckmann F. (1967), Neue Gesichtspunkte zum 5. Buch Euklids, „Archive for History of Exact Sciences” 4, 1-144.
  • Berggen J. L. (1984), History of Greek Mathematics. A Survey of Recent Research, „Historia Mathematica” 11, 394-410.
  • Błaszczyk P. (2006), O definicji 5 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Investigationes Linguisticae” 14, 120-146; www.inveling.amu.edu.pl
  • Błaszczyk P. (2007), Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Kraków: Wydawnictwo Naukowe AP; www.eudoxos.pl.
  • Błaszczyk P. (2010a), O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 117-139.
  • Błaszczyk P. (2010b), Ciągłość versus kontinuum. Rewizja stanowiska Zenona z Elei i jego współczesnychkrytyków [w:] Światy matematyki. Tworzenie czy odkrywanie? Księga Jubileuszowa ofiarowana Panu Profesorowi Romanowi Murawskiemu, I. Bondecka-Krzykowska, J. Pogonowski (red.), Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 107-121; www.eudoxos.pl.
  • Błaszczyk P. (2012a), O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia” 4, 15-30; www.up.krakow.pl/mat/annal-dyd/.
  • Błaszczyk P. (2012b), Nota o Über den Zahlbegriff Davida Hilberta, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia” 4, 195-198; www.up.krakow.pl/mat/annal-dyd/.
  • Błaszczyk P. (2013), Nota o rozprawie Otto Höldera Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia” 5, 129-142, www.eudoxos.pl.
  • Błaszczyk P., Mrówka K. (2013a), Euklides, Elementy, Księgi V—VI. Teoria proporcji i podobieństwa. Tłumaczenie i komentarz, Kraków: Copernicus Center Press.
  • Błaszczyk P., Mrówka K. (2013b), Komentarz do Księgi V Elementów Euklidesa, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki” 3, 29-60.
  • Borsuk K., Szmielew W. (1972), Podstawy geometrii, Warszawa: PWN.
  • Bourbaki N. (1947), Theorie de la mesure et de l’intengration. Introduction (etat 2), Nancy: Université Henri Poincaré.
  • Cajori F. (2007), A History of Mathematical Notations, t. I, New York (NY): CosimoClassics (reprint wydania z 1928 roku).
  • Cantor G. (1872), Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, „Mathematische Annalen” 5, 123-132.
  • Cantor G. (1882), Über undendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. 3, „Mathematische Annalen” 20, 113-121; Cantor 1932: 149-157.
  • Cantor G. (1883), Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. 5, „Mathematische Annalen” 21, 545-586; Cantor 1932: 165-208; O nieskończonych liniowych rozmaitościach punktowych, §10, tłum. J. Pogonowski, www.eudoxos.pl.
  • Cantor G. (1895), Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, „Mathematische Annalen” 46, 481-512: Cantor 1932: 282-351; Przyczynki do ugruntowania pozaskończonej teorii mnogości, §11. Typ porządkowy θ kontinuum liniowego X, tłum. J. Pogonowski, www.eudoxos.pl.
  • Cantor G. (1932), Gesammelte Abhandlungen, E. Zermelo (red.), Berlin: Springer.
  • Cauchy A. (1821), Cours d’analyse, Paris: Courcier.
  • Dedekind R. (1872), Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn.
  • Descartes R. (1637), La Géométrie, Leiden 1637.
  • Euler L. (1807), Élémens d’algébre, t. I, Paris: Courcier 1807.
  • Fowler D. (2003), The Mathematics of Plato’s Academy, Oxford: Oxford University Press.
  • Grassmann H. (1861), Lehrbuch der Arithmetik, Berlin: Enslin.
  • Hallett M., Majer U. (2004), David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry 1891-1902, Berlin: Springer.
  • Hartshorne R. (2000), Geometry. Euclid and Beyond, New York (NY): Springer.
  • Heath T. L. (1956), The Thirteen Books of Euclid’s Elements, t. 1-3, New York (NY): Dover.
  • Heiberg I. L. (1883-1888), Euclidis Elementa, t. 1-4, Leipzig: Teubner.
  • Hilbert D. (1899), Grundlagen der Geometrie [w:] Festschrift zur Feier der Enthüllung des GAUSS–WEBER Denkmals in Göttingen, Leipzig: Teubner.
  • Hilbert D. (1900), Über den Zahlbegriff, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung” 8, 180-184; O pojęciu liczby, tłum. J. Pogonowski, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Partinentia” 4, 2012, 199-202; www.up.krakow.pl/mat/annal-dyd/.
  • Hölder O. (1901), Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass, „Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe” 53, Leipzig, 1-63; Aksjomaty wielkości i teoria miary, §1-5, tł. J. Pogonowski, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Partinentia” 5, 2013, 143-152; www.eudoxos.pl.
  • Knorr W. R. (1975), The Evolution of the Euclidean Elements, Dordrecht: D. Reidel.
  • Kuratowski K. (1952), Topologie, t. II, Warszawa: PTM.
  • Kuratowski K. (1973), Wstęp do teorii mnogości i topologii, Warszawa: PWN.
  • Kuratowski K., Mostowski A. (1978), Teoria mnogości, Warszawa: PWN.
  • Mueller I. (2006), Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements, New York: Dover (reprint wydania z 1981).
  • Pasch M. (1882), Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig: Teubner.
  • Stolz O. (1885), Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik, Leipzig: Teubner.
  • Vitrac B. (1990-2001), Euclide. Les Eléments, t. 1-4, Paris: PUF.
  • Weber H. (1895), Lehrbuch der Algebra, Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn.
  • Whitney H. (1968), The Mathematics of Physical Quantities. Part I. Mathematical Models for Measurement, „American Mathematical Monthly” 75, 115-138.
Document Type
Publication order reference
Identifiers
YADDA identifier
bwmeta1.element.desklight-709461c2-6d8b-4e3c-a07e-8af79c66dad0
JavaScript is turned off in your web browser. Turn it on to take full advantage of this site, then refresh the page.