Uwagi o arytmetyce Grassmanna

• Authors: Hanusek Jerzy

Title variants

EN

Remarks on Grassmann’s Arithmetic

• Languages of publication: PL

Abstracts

PL

Praca Hermanna Grassmanna z roku 1861 była pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia arytmetyki (liczb całkowitych z wyróżnionym podzbiorem liczb dodatnich). Znaczenie historyczne tej pracy jest ogromne, choć sama aksjomatyka okazała się niepełna. Opierając się na interpretacji teorii Grassmanna dokonanej przez HaoWanga [1957], przedstawiam szczegółowe jej omówienie i definiuję klasę modeli tej teorii. Na koniec podaję propozycję modyfikacji aksjomatyki arytmetyki Grassmanna, która polega na dodaniu pewnego zdania elementarnego i usunięciu zdania nieelementarnego. Przedstawiam dowód że po takiej modyfikacji teorii jej jedynym modelem z dokładnością˛ do izomorfizmu jest model standardowy.

EN

Hermann Grassmann’s 1861 work [2] was probably the first attempt at an axiomatic approach to arithmetic (of integers with a distinguished subset of positive ones). The historical significance of this work is enormous, even though the set of axioms has proven to be incomplete. Basing on the interpretation of Grassmann’s theory provided by Hao Wang in [4], I present its detailed discussion, define the class of models of Grassmann’s arithmetic and discuss a certain axiom system for integers, modeled on Grassmann’s theory. At the end I propose to modify the set of axioms of Grassmann’s arithmetic, which consists in adding an elementary sentence and removing a non-elementary one. I prove that after this modification the only model of the theory up to isomorphism is the standard model.

Keywords

PL

Hermann Grassmann; Giuseppe Peano; arytmetyka; teoria aksjomatyczna

EN

Hermann Grassmann; Giuseppe Peano; arithmetic; axiomatic theory

• Publisher: Instytut Filozofii - Uniwersytet Jagielloński
• Journal: Diametros
• Year: 2015
• Issue: Diametros 45
• Pages: 107-121

Dates

published

2015-09

Contributors

author

Hanusek Jerzy

• Department of Philosophy Jagiellonian University

References

• H. Judah, M. Goldstern, The Incompleteness Phenomenon. A New Course in Mathematical Logic, AK Peters, Wellesley, MA 1998.
• H. Grassmann, Lerhbuch der Arithmetic, 1961.
• J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Elementy arytmetyki teoretycznej,Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne,Warszawa 1980.
• H. Wang, The Axiomatization of Arithmetic, „The Journal of Symbolic Logic” 22 (2) June 1957.

Identifiers

DOI

dx.doi.org/10.13153/diam.45.2015.799