Asymptotic normality of conditional density and conditional mode in the functional single index model

• Authors: Akkal Fatima , Kadiri Nadia , Rabhi Abbes

Title variants

Asymptotyczna normalność rozkładu warunkowej gęstości i warunkowej dominanty modelu jednowskaźnikowego

• Languages of publication: EN

Abstracts

EN

The main objective of this paper is to investigate the nonparametric estimation of the conditional density of a scalar response variable Y, given the explanatory variable X taking value in a Hilbert space when the sample of observations is considered as an independent random variables with identical distribution (i.i.d) and are linked with a single functional index structure. First of all, a kernel type estimator for the conditional density function (cond-df) is introduced. Afterwards, the asymptotic properties are stated for a conditional density estimator when the observations are linked with a singleindex structure from which one derives a central limit theorem (CLT) of the conditional density estimator to show the asymptotic normality of the kernel estimate of this model. As an application the conditional mode in functional single-index model is presented, and the asymptotic (1 – ) confidence interval of the conditional mode function is given for 0 <  < 1. A simulation study is also presented to illustrate the validity and finite sample performance of the considered estimator. Finally, the estimation of the functional index via the pseudo-maximum likelihood method is discussed.

PL

Celem niniejszego artykułu jest zbadanie nieparametrycznej estymacji warunkowej gęstości skalarnej zmiennej zależnej Y, przy założeniu, że zmienna objaśniająca X przyjmuje wartość w przestrzeni Hilberta, gdy próbka obserwacji jest traktowana jako niezależne zmienne losowe o identycznym rozkładzie i są one połączone jedną funkcjonalną strukturą indeksu. Przede wszystkim wprowadzono estymator typu jądrowego dla warunkowej funkcji gęstości (cond-df). Następnie określono asymptotyczne właściwości warunkowego estymatora gęstości, gdy obserwacje są połączone ze strukturą pojedynczego indeksu, i wyprowadzano centralne twierdzenie graniczne (CLT) warunkowego estymatora gęstości w celu zaprezentowania asymptotycznej normalności estymacji jądrowej tego modelu. W aplikacji przedstawiono dominantę warunkową w funkcjonalnym modelu z pojedynczym indeksem, a także asymptotyczny (1-) przedział ufności funkcji dominanty warunkowej dla 0 <  < 1. Na koniec omówiono estymację indeksu funkcjonalnego metodą pseudomaksymalnej wiarygodności.

Keywords

EN

asymptotic normality; conditional density; functional single index model functional random variable nonparametric estimation

PL

asymptotyczna normalność; gęstość warunkowa; funkcjonalny model pojedynczego wskaźnika; funkcjonalna zmienna losowa; estymacja nieparametryczna

• Publisher: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu
• Journal: Econometrics. Ekonometria. Advances in Applied Data Analytics
• Year: 2021
• Volume: 25
• Issue: 1
• Pages: 1-24

Contributors

author

Akkal Fatima

• University Djillali LIABES of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, Algeria

author

Kadiri Nadia

• University Djillali LIABES of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, Algeria

author

Rabhi Abbes

• University Djillali LIABES of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, Algeria

References

• Aït-Saidi, A., Ferraty, F. and Kassa, R. (2005). Single functional index model for a time series. Revue Roumaine de Mathématique Pures et Appliquées, (50), 321-330.
• Aït-Saidi, A., Ferraty, F., Kassa, R., and Vieu, P. (2008). Cross-validated estimation in the single functional index model. Statistics, (42), 475-494.
• Attaoui, S. (2014). Strong uniform consistency rates and asymptotic normality of conditional density estimator in the single functional index modeling for time series data. J. AStA Adv. Stat. Anal., (98), 257-286.
• Attaoui, S., and Boudiaf, M. (2014). On the non parametric conditional density and mode estimates in the single functional index model with strongly mixing data. Sankhya, 76(A), 356-378.
• Attaoui, S., Laksaci, A., and Ould-Saïd, E. (2011). A note on the conditional density estimatein the single functional index model. Statist. Probab. Lett., 81(1), 45-53.
• Ataoui, S., and Ling, N. (2016). Asymptotic results of a non parametric conditional cumulative distribution estimator in the single functional index modeling for time series data with applications.
• Metrika: International Journal for Theoretical and Applied Statistics, 79(5), 485-511.
• Belabbaci, O., Rabhi, A., and Soltani, S. (2015). Strong uniform consistency of hazard function with functional explicatory variable in single functional index model under censored data. Applications and Applied Mathematics: An International Journal (AAM), 10(1), 114-138.
• Bouchentouf, A. A., Djebbouri, T., Rabhi, A., and Sabri, K. (2014). Strong uniform consistency rates of some characteristics of the conditional distribution estimator in the functional single index model. Appl. Math., 41(4), 301-322.
• De Gooijer, J. G., and Zerom, D. (2003). On conditional density estimation. Statistica Neerlandica, (57), 159-76.
• Delecroix, M., Härdle, W., and Hristache, M. (2003). Efficient estimation in conditional singleindex regression. J. Multivariate Anal., (86), 213-226.
• Ezzahrioui, M., and Ould-Saïd, M. (2008). Asymptotic normality of a non parametric estimator of the conditional mode function for functional data. Nonparametr. Stat., (20), 3-18.
• Ferraty, F., Laksaci, A., and Vieu, P. (2006). Estimating some characteristics of the conditional distribution in nonparametric functional models. Statist. Inference Stoch. Process., (9), 47-76.
• Ferraty, F., Peuch, A., and Vieu, P. (2003). Modèle à indice fonctionnel simple. C.R. Mathématiques, (336), 1025-1028.
• Ferraty, F., and Vieu, P. (2003). Curves discrimination: A nonparametric functional approach. Computat. Statist. Data Anal., (44), 161-173.
• Ferraty, F., and Vieu, P. (2006). Nonparametric functional data analysis: Theory and practice. New York: Springer.
• Härdle, W., and Marron, J. S. (1985). Optimal bandwid the selection in nonparametric regression function estimation. Ann. Statist., 13, 1465-1481.
• Härdle, W., Hall, P., and Ichumira, H. (1993). Optimal smoothing in single-index models. Ann. Statist., (21), 157-178.
• Hristache, M., Juditsky, A., and Spokoiny, V. (2001). Direct estimation of the index coefficient in a single-index model. Ann. Statist., 29(3), 595-623.
• Khardani, S., Lemdani, M., and Ould-Saïd, E. (2010). Some asymptotic properties for a Smooth kernel estimator of the conditional mode under random censorship. Journal of Korean Statistical Society, (39), 455-469.
• Khardani, S., Lemdani, M., and Ould Saïd, E. (2011). Uniform rate of strong consistency for a smooth kernel estimator of the conditional mode under random censorship. J. Statist. Plann. and Inf., (141), 3426-3436.
• Khardani, S., Lemdani, M. and Ould Saïd, E. (2014). On the central limit theorem for a conditional mode estimator of a randomly censored time series. Journal of Statistical Theory and Practice, (8), 722-742.
• Kołodko, G. (2010). Neoliberalizm i światowy kryzys gospodarczy. Ekonomista, (1), 23-30.
• Kowalski, J., Nowak, T., and Pisarek, W. (red.). (2018). Aspekty zarządzania. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
• Kowalski, J. (red.). (2013). Rola polityki logistycznej. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu.
• Laib, N., and Louani, D. (2010). Nonparametric kernel regression estimation for functional stationaryergodic data: Asymptotic properties. J. Multivariate Anal., (101), 2266-2281.
• Ling, N., and Xu, Q. (2012). Asymptotic normality of conditional density estimation in the single index model for functional time series data. Statistics and Probability Letters, (82), 2235-2243.
• Ling, N., Li, Z., and Yang, W. (2014). Conditional density estimation in the single functional index model for α-mixing functional data. Communications in Statistics – Theory and Methods, 43(3), 441-454. doi: 10.1080/03610926.2012.664236
• Ling, N., and Xu, Q. (2012). Asymptotic normality of conditional density estimation in the single index model for functional time series data. Statistics and Probability Letters, (82), 2235-2243.
• OECD. (2010). Sprawozdanie dotyczące przygotowania Strategii Zielonego Wzrostu. Retrieved from http://www.oecd-ilibrary.org
• Ould-Saïd, E. (2006). A strong uniform convergence rate of kernel conditional quantile estimator under random censorship. Statistics and Probability Letters, (76), 579-586.
• Ould-Saïd, E., and Cai, Z. (2005). Strong uniform consistency of nonparametric estimation of the censored conditional mode function. Nonparametric Statistics, 17(7), 797-806.
• Sturman, M. C., Shao, L., and Katz, J. H. (Eds.). (2012). The effect of culture on the curvilinear relationship between performance turnover. Berlin: Springer.
• The World Bank. (2012). Inclusive green growth: The pathway to sustainable development. Washington, DC: The World Bank.
• Ustawa z dnia 17 grudnia 2004 r. o odpowiedzialności za naruszenie dyscypliny finansów publicznych (Dz. U. z 2004 r. Nr 14, poz. 114 ze zm.)