Can tori arise in a two–regional model with fixed exchange rates

• Authors: Peter MALIČKÝ , Rudolf ZIMKA

Title variants

PL

Czy torusy mogą się pojawiać w modelu dwuregionalnym przy ustalonej stopie wymiany?

• Languages of publication: EN

Abstracts

EN

A two-regional, five dimensional model describing the development of income, capital stock and money stock, which was introduced by T. Asada in [1], is analysed. Sufficient conditions are found for the existence of two pairs of purely imaginary eigenvalues and a fifth negative one for the linear approximation matrix of the model. A theorem on the existence of invariant tori is presented.

PL

W artykule omówiono dwuregionalny model wprowadzony przez T. Asada [1], opisujący dynamiczne wzajemne oddziaływanie dwóch regionów połączonych poprzez międzyregionalny handel i przepływ kapitału. Model pokazuje rozwój dochodu, akcji kapitałowych i akcji pieniężnych w rozważanych regionach. T. Asada [1] dokonał analizy istnienia punktu równowagi dla modelu, znalazł warunki wystarczające dla jego lokalnej stabilności, a także przeanalizował problem istnienia cykli biznesowych wokół punktu równowagi. Ponieważ badanym modelem jest pięciowymiarowy dynamiczny system, problem istnienia torusa wokół punktu równowagi jest uzasadniona. Artykuł daje odpowiedź na to pytanie. Torusy mogą pojawiać się tylko w przypadku, kiedy macierz aproksymacji liniowej modelu w punkcie równowagi ma dwie pary czysto urojonych wartości własnych. Twierdzenie 1 daje wystarczające warunki istnienia dwóch par czysto urojonych wartości własnych z pozostałą jedną wartością ujemną. Twierdzenie 2 stanowi komentarz istnienia torusów w bliskim sąsiedztwie punktu równowagi. Model rozważany w artykule może być zastosowany do analizy dynamicznego wzajemnego oddziaływania dwóch krajów w obszarze strefy Euro.

Keywords

EN

dynamic model; equilibrium; linear approximatiomatrix, eigenvalues; normal form of differential equations on invariant surface; bifurcation equation; torus

PL

model dynamiczny; równowaga; macierz przybliżenia liniowego; wartości własne macierzy; normalna forma równań różniczkowych na niezmienniczej powierzchni; równania bifurkacyjne; torus

• Publisher: Politechnika Wrocławska. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej
• Journal: Operations Research and Decisions
• Year: 2009
• Volume: 19
• Issue: 1
• Pages: 103-119

Contributors

author

Peter MALIČKÝ

• Department of Mathematics, Faculty of Natural Sciences, Matej Bel University, Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica, Slovakia

author

Rudolf ZIMKA

• Department of Quantitative Methods and Informatics, Faculty of Economics, Matej Bel University, Tajovského 10, 975 50 Banská Bystrica, Slovakia

References

• ASADA T., A Two-regional Model of Business Cycles with Fixed Exchange Rates: A Kaldorian Approach, Discussion Paper Series No. 44, Chuo University, Tokyo, Japan 2003.
• ASADA T., INABA T., MISAWA T., An Interregional Dynamic Model: The Case of Fixed Exchange
• Rates, Studies in Regional Science, 2001, 31–2, 29−41.
• BIBIKOV Yu.N., Multi-frequency non-linear oscillations and their biffurcations, The Publishing House of The Saint Petersburg University, Saint Petersburg 1991 (in Russian).
• GANDOLFO G., Economic Dynamics, Springer-Verlag, Berlin 1997.