Central Limit Theorem for Conditional Mode in the Single Functional Index Model with Data Missing at Random

• Authors: Anis Allal , Abdessamad Dib , Abbes Rabhi

Title variants

PL

Centralne twierdzenie graniczne dla trybu warunkowego w jednolitym funkcjonalnym modelu indeksowym z losowym brakiem danych

Abstracts

PL

W artykule skoncentrowano się na nieparametrycznym estymowaniu warunkowej funkcji gęstości i warunkowej dominanty w modelu pojedynczego wskaźnika funkcjonalnego dla niezależnych danych, szczególnie gdy na interesującą zmienną wpływają losowo brakujące dane. Obejmuje to strukturę półparametrycznego pojedynczego modelu i proces cenzurowania zmiennych. Zgodność estymatora (ze współczynnikami) w różnych sytuacjach, np. w ramach modelu pojedynczego wskaźnika funkcjonalnego przy założeniu niezależnych i z identycznym rozkładem danych z losowymi brakami, a także jego działanie w warunkach, gdy zmienna towarzysząca jest funkcjonałem, to główne obszary zainteresowania. Dla tego modelu wyznacza się prawie całkowicie jednolitą zbieżność i wskaźnik zbieżności. Wskaźniki zbieżności podkreślają kluczową rolę, jaką prawdopodobieństwo koncentracji odgrywa w założeniach dotyczących objaśniającej zmiennej funkcjonalnej. Dodatkowo ustala się asymptotyczną normalność wyprowadzonych estymatorów zaproponowanych w określonych łagodnych warunkach, opierając się na standardowych założeniach z analizy danych funkcjonalnych dla dowodów. Na koniec zbadano praktyczne zastosowanie ustaleń w konstruowaniu przedziałów ufności dla naszych estymatorów. Wskaźniki zbieżności podkreślają kluczową rolę, jaką prawdopodobieństwo koncentracji odgrywa w założeniach dotyczących objaśniającej zmiennej funkcjonalnej.

EN

This paper concentrates on nonparametrically estimating the conditional density function and conditional mode within the single functional index model for independent data, particularly when the variable of interest is affected by randomly missing data. This involves a semi-parametric single model structure and a censoring process on the variables. The estimator's consistency (with rates) in a variety of situations, such as the framework of the single functional index model (SFIM) under the assumption of independent and identically distributed (i.i.d) data with randomly missing entries, as well as its performance under the assumption that the covariate is functional, are the main areas of focus. For this model, the nearly almost complete uniform convergence and rate of convergence established. The rates of convergence highlight the critical part that the probability of concentration play in the law of the explanatory functional variable. Additionally, we establish the asymptotic normality of the derived estimators proposed under specific mild conditions, relying on standard assumptions in Functional Data Analysis (FDA) for the proofs. Finally, we explore the practical application of our findings in constructing confidence intervals for our estimators. The rates of convergence highlight the critical part that the probability of concentration play in the law of the explanatory functional variable.

Keywords

EN

functional data analysis; functional single-index process; kernel estimator; missing at random; nonparametric estimation; small ball probability

PL

funkcjonalna analiza danych; funkcjonalny proces pojedynczego indeksu; estymator jądra; losowe braki; estymacja nieparametryczna; prawdopodobieństwo małej kuli

• Publisher: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu
• Journal: Econometrics. Ekonometria. Advances in Applied Data Analytics
• Year: 2024
• Volume: 28
• Issue: 1
• Pages: 39-60

Dates

published

2024

Contributors

author

Anis Allal

• University Djillali Liabes of Sidi Bel Abbes, Algeria

• https://orcid.org/0000000215538132

author

Abdessamad Dib

• University Djillali Liabes of Sidi Bel Abbes, Algeria

• https://orcid.org/0000000336548185

author

Abbes Rabhi

• University Djillali Liabes of Sidi Bel Abbes, Algeria

• https://orcid.org/0000000167400226

References

• Aït-Saidi, A., Ferraty, F., Kassa, R., and Vieu, P. (2008). Cross-validated Estimation in the Single Functional Index Model. Statistics, (42), 475-494.
• Attaoui, S., and Boudiaf, M. (2014). On the Nonparametric Conditional Density and Mode Estimates in the Single Functional Index Model with Strongly Mixing Data. Sankhyã Indian J. Stat., 76(2), 356-378.
• Attaoui, S., and Ling, N. (2016). Asymptotic Results of a Nonparametric Conditional Cumulative Distribution Estimator in the Single Functional Index Modeling for Time Series Data with Applications. Metrika: International Journal for Theoretical and Applied Statistics, 79(5), 485-511.
• Chaudhuri, P., Doksum, K., and Samarov, A. (1997). On Average Derivative Quantile Regression. Ann. Statist., (25), 715-744.
• Cheng, P. E. (1994). Nonparametric Estimation of Mean Functional with Data Missing at Random. Journal of the American Statistical Association, 89(425), 81-87.
• Ezzahrioui, M., and Ould-Saïd, E. (2008). Asymptotic Normality of a Nonparametric Estimator of the Conditional Mode Function for Functional Data. Journal of Nonparametric Statistics, (20), 3-18.
• Ferraty, F., Rabhi, A., and Vieu, P. (2005). Conditional Quantiles for Functional Dependent Data with Application to the Climatic El Niño Phenomenon. Sankhyã, (67), 378-398.
• Ferraty, F., Sued, F., and Vieu, P. (2013). Mean Estimation with Data Missing at Random for Functional Covariables. Statistics, 47(4), 688-706.
• Ferraty, F., and Vieu, P. (2003). Functional Nonparametric Statistics: A Double Infinite Dimensional Framework. Recent Advances and Trends in Nonparametric Statistics, M. Akritas and D. Politis (Ed.). Elsevier.
• Ferraty, F., and Vieu, P. (2006). Nonparametric Functional Data Analysis: Theory and Practice. Springer.
• Hamri, M. M., Mekki, S. D., Rabhi, A., and Kadiri, N. (2022). Single Functional Index Quantile Regression for Independent Functional Data Under Right-Censoring. Econometrics, 26(1), 31-62. https://doi.org/10.15611/eada.2022.1.03 Kadiri, N., Rabhi, A., and Bouchentouf, A. A. (2018). Strong Uniform Consistency Rates of Conditional Quantile Estimation in the Single Functional Index Model under Random Censorship. Journal Dependence Modeling, 6(1), 197-227.
• Laib, N., and Louani, D. (2010). Nonparametric Kernel Regression Estimation for Functional Stationary Ergodic Data: Asymptotic Properties. Journal of Multivariate Analysis, (101), 2266-2281.
• Lemdani, M., Ould-Saïd, E., and Poulin, N. (2009). Asymptotic Properties of a Conditional Quantile Estimator with Randomly Truncated. Journal of Multivariate Analysis, 100(3), 546-559.
• Liang, H., and de Uña-Alvarez, J. (2010). Asymptotic Normality for Estimator of Conditional Mode under Left-truncated and Dependent Observations. Metrika, 72(1), 1-19.
• Ling, N., Liang, L., and Vieu, P. (2015). Nonparametric Regression Estimation for Functional Stationary Ergodic Data with Missing at Random. Journal of Statistical Planning and Inference, (162), 75-87.
• Ling, N., Liu, Y., and Vieu, P. (2016). Conditional Mode Estimation for Functional Stationary Ergodic Data with Responses Missing at Random. Statistics, 50(5), 991-1013.
• Ould-Saïd, E., and Cai, Z. (2005). Strong Uniform Consistency of Nonparametric Estimation of the Censored Conditional Mode Function. Journal of Nonparametric Statistics, 17(7), 797-806.
• Ould-Saïd, E., and Djabrane, Y. (2011). Asymptotic Normality of a Kernel Conditional Quantile Estimator Under Strong Mixing Hypothesis and Left-truncation. Communications in Statistics. Theory and Methods, 40(14), 2605-2627.
• Ould-Saïd, E., and Tatachak, A. (2011). A Nonparametric Conditional Mode Estimate under RLT model and Strong Mixing Conditions. International Journal of Statistics and Economics, (6), 76-92.
• Rabhi, A., Kadiri, N., and Akkal, F. (2021). On the Central Limit Theorem for Conditional Density Estimator in the Single Functional Index Model. Applications and Applied Mathematics: An International Journal (AAM), 16(2), 844-866.
• Rabhi, A., Kadiri, N., and Mekki, S. D. (2021). Asymptotic Properties of the Semi-Parametric Estimators of the Conditional Density for Functional Data in the Single Index Model with Missing Data at Random. Statistica, 81(4), 399-422.
• Roussas, G. (1969). Nonparametric Estimation of the Transition Distribution Function of a Markov Process. Ann. Statist., (40), 1386-1400.
• Samanta, M. (1989). Nonparametric Estimation of Conditional Quantiles. Stat. Prob. Lett., (7), 407-412.

Identifiers

DOI

10.15611/eada.2024.1.04

Biblioteka Nauki

31233548