Hipoteza Brody w świetle wyników badań empirycznych

• Authors: Henryk Gurgul , Tomasz Wójtowicz

Title variants

EN

Brody’s hypothesis versus results of empirical research

• Languages of publication: PL

Abstracts

PL

W tym artykule została przedstawiona dyskusja hipotezy Brody sformułowanej w 1997 roku, a dotyczącej szybkości zbieżności do stanu równowagi (proporcji produkcji wyznaczonych przez wektor własny Frobeniusa) dużych systemów input-output lub systemów von Neumanna w zależności od ich wymiarów. Brody napisał, iż im większa macierz nakładów A, to znaczy im więcej zawiera ona elementów (sektorów i branż) tym szybciej system, w którym występuje ta macierz jest zbieżny do stanu równowagi. Od tego czasu toczy się dyskusja nad matematycznymi aspektami tej hipotezy. W tym artykule został zamieszczony przegląd prac nawiązujących do rozważanej hipotezy. Część z nich dostarcza dowodów na prawdziwość hipotezy, część zaś dowodzi, że hipoteza na ogół nie jest prawdziwa. W artykule zostały wyróżnione dwa kierunki badań stochastyczny i deterministyczny. Tylko przy bardzo wyszukanych założeniach odnośnie losowości macierzy A zachodzi hipoteza Brody. Jednakowoż w ogólnym przypadku, jak pokazaliśmy w tym artykule, hipoteza Brody nie jest prawdziwa. Jest to wniosek z obliczeń dla różnych agregacji (16, 30 i 59) wykonanych dla całej Unii Europejskiej, strefy Euro i poszczególnych krajów członkowskich. Zwiększenie stopnia agregacji nie spowodowało na ogół wzrostu stosunku drugiej do pierwszej wartości własnej macierzy A. Najmniejszy stosunek obu wartości własnych miał miejsce w przypadku całej Unii Europejskiej, potem strefy Euro i dalej poszczególnych państw. Stąd wysnuto wniosek, że szybkość zbieżności danej gospodarki do stanu równowagi nie zależy od liczby wyróżnionych w niej sektorów, lecz od jej wielkości i być może stopnia współzależności tych sektorów (duże gospodarki szybciej zmierzają do stanu równowagi niż mniejsze gospodarki).

EN

This paper presents discussion about the importance of degree of aggregation in input-output systems for speed of convergence to the equilibrium. The basis is the hypothesis stated by Brody (1997) that the greater the dimension of flow coefficients matrix A is, the faster the economy convergences to the equilibrium because the ratio between modulus of the subdominant and dominant eigenvalue declines to zero. Since then, several papers have been published to verify mathematical aspects of the hypothesis. The development of random matrices theory provided theorems that confirm the hypothesis in the case of i.i.d. elements of flow coefficients matrix.. However, in the case of deterministic input-output table, there were constructed counterexamples where the ratio between subdominant and dominant eigenvalue does not decline when the size of the matrix increases to infinity and the degree of aggregation does not influence the speed of convergence to the equilibrium. This paper verifies how the hypothesis fits to empirical data. Analysis of different aggregation of input-output tables for European Union, Euro zone and several European countries shows that increasing the number of branches in IO table does not reduce the ratio of modulus of subdominant and dominant eigenvalues of the flow coefficients matrix A. Hence, the speed of convergence to the equilibrium does not depend on the number of sectors in IO table but rather on the size of economy and relationships between its sectors. (i.e. large economies converge faster to equilibrium than small economies).

Keywords

PL

modele input-output; równowaga; wartości własne; hipoteza Brody

EN

input-output models; equlibrium; eigenvalues; Brody’s conjecture

• Publisher: Główny Urząd Statystyczny
• Journal: Przegląd Statystyczny
• Year: 2012
• Volume: 59
• Issue: 1
• Pages: 32-47

Contributors

author

Henryk Gurgul

• AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Zarządzania Samodzielna Pracownia Zastosowań Matematyki w Ekonomii Al. Mickiewicza 30 30-059 Kraków

author

Tomasz Wójtowicz

• AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Zarządzania Samodzielna Pracownia Zastosowań Matematyki w Ekonomii Al. Mickiewicza 30 30-059 Kraków

References

• Białas, S., Gurgul, H.(1998), On a Hypothesis about the Second Eigenvalue of the Leontief Matrix”, Economic Systems Research-Journal of International Input-Output Association, vol.10, no.3, 285-289.
• Bidard, C., Schatteman, T. (2001), The spectrum of random matrices, Economic Systems Research-Journal of International Input-Output Association, vol. 13, 289-298.
• Brody, A. (1997), The Second Eigenvalue of the Leontief Matrix, Economic Systems Research-Journal of International Input-Output Association, vol. 9, no. 3, 253-258.
• Goldberg, G., Okuney, P., Neumann, M., Schneider, H. (2000) Distribution of subdominant eigenvalues of random matrices, Methodol. Comput. Appl. Probab., 2, 137–151.
• Goldberg, G., Neumann, M. (2003), Distribution of Subdominant Eigenvalues of Matrices with Random Rows, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 24, no 3, 747–761.
• Gurgul, H., Majdosz, P. (2006), Interfund Linkages Analysis: The Case of the Polish Pension Fund Sector, Economic Systems Research-Journal of International Input-Output Association, vol. 18, no.1, 1-27.
• Leontief W. W. (1941), The Structure of American Economy 1919-1939; An Empirical Application of Equilibrium Analysis, New York.
• Marcus, M., Minc, H. (1964), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalites, (Boston, Allyn and Bacon).
• Molnar, G., Simonovits, A. (1998), A Note on the Subdominant Eigenvalue of a Large Stochastic Matrix, Economic Systems Research-Journal of International Input-Output Association, vol.10, no.1, 79-82.
• Plich, M. (2003), Budowa i zastosowanie wielosektorowych modeli ekonomiczno-ekologicznych, Wydawnictwo UŁ (rozprawa habilitacyjna).
• Sun, G.-Z. (2008), The First Two Eigenvalues of Large Random Matrices and Brody’s Hypothesis on the Stability of Large Input-Output Systems, Economic Systems Research-Journal of International Input-Output Association, vol.20, no.4, 429-432.
• Tomaszewicz, Ł. (1994), Metody analizy input-output, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1994.